1. Nhắc lại định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên K (K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng). Ta nói:

• Hàm số $y = f(x)$ được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu $forall x_1, x_2 in K, x_1 < x_2 Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.
• Hàm số $y = f(x)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu $forall x_1, x_2 in K, x_1 < x_2 Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

2. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu

Giả sử hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên khoảng K. Ta có các định lý sau:

• Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên K.
• Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên K.
• Nếu $f'(x) = 0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f(x)$ là hàm hằng trên K (không đổi).

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f'(x) ge 0, forall x in K$ và $f'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K. Tương tự, nếu $f'(x) le 0, forall x in K$ và $f'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K.